Jak nepočítat smrtnost

Pojem smrtnost (letalita) je jeden ze základních pojmů epidemiologie. Natolik základní, že by ho měl bezpečně ovládat každý lékař. Je proto přinejmenším smutné, že tento pojem použil špatně člověk, který se honosí profesorským titulem z vojenské epidemiologie a sám sebe prezentuje jako předního odborníka. Je silně znepokojující, že toto nepochopení základního pojmu vlastního oboru použil k tomu, aby mohl bagatelizovat závažnost delta varianty SARS-CoV-2.

Konkrétně jde o toto tvrzení prof. Jiřího Berana: “Celkový počet případů s mutací delta do 14. června činil ve Spojeném království 60 655. Z těchto nakažených zemřelo 73 osob, což je 0,1 procenta, tedy jedno promile. Jde tak o smrtnost 20x nižší, než je smrtnost současné převažující mutace v ČR alfa, označované dříve jako britská.”
zdroj: Parlamentní listy, 22. 6. 2021 

Zásadní problém je s chápáním pojmu smrtnost. Ve Výkladovém slovníku termínů v epidemiologii je poměrně stručné heslo: “Poměr počtu zemřelých na dané onemocnění k celkovému počtu onemocnělých touto chorobou. Vyjadřuje se v procentech.”

Z tohoto textu není chyba prof. Berana zřejmá. Vždyť on přece vzal počet zemřelých a podělil ho počtem nemocných. Nebezpečím všech slovníkových definic je to, že jsou nutně zkratkovité. Například chybí uvedení toho, že smrtnost se používá jako míra závažnosti onemocnění. Podle typu onemocnění je třeba rozhodnout, jakým způsobem toto vyjádřit tak, aby nebyl význam této míry zkreslen aktivními případy. V případě epidemie má smysl hovořit o smrtnosti jako o míře závažnosti onemocnění až v případě, že je počítána z uzavřených případů. V průběhu epidemie je možné provádět více či méně kvalifikované odhady, ale prosté vydělení dosud prokázaných případů dosud prokázanými mrtvými je odhad bezcenný a zejména v počátečních fázích epidemie zcela zavádějící.

Protože je toto tvrzení velmi silné vzhledem k osobě Jiřího Berana, následuje podrobné vysvětlení toho, proč není možné odhadovat smrtnost tak, jak to předvedl Jiří Beran v rozhovoru pro Parlamentní listy. K vysvětlení použiju příklad, hypotetické onemocnění, které si budu modelovat jednoduchým modelem SIR. Pro podrobnější vysvětlení viz online materiály programu Matematické biologie na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity.

Model SIR rozděluje populaci na tři skupiny: vnímaví k infekci (kompartment S), nakažení (kompartment I) a zotavení (kompartment R). Kromě velikosti infekce hrají roli rychlostní konstanty nákazy (β) a zotavení (γ). Pro potřeby demonstrace problému s letalitou přidám k modelu SIR ještě kompartment D, který reprezentuje zemřelé na infekci. Ústup infekce dále charakterizuje parametr γ, ale tok se dělí do dvou kompartmentů. Do kompartmentu D, který reprezentuje zemřelé, plyne jen část γ odpovídající smrtnosti (IFR), tedy za předpokladu, že je IFR vyjádřena jako bezrozměrné číslo, γ∙IFR. Do kompartmentu R, který reprezentuje ty, kteří infekci přežili, plyne jen část o IFR zmenšená, tedy γ∙(1-IFR). Schéma modelu je na obrázku:

Odpovídající soustava obyčejných diferenciálních rovnic je následující:

Takto definovaný model lze řešit například v jazyce R, k řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic lze použít knihovnu deSolve. Kód jazyka R je psán neproporcionálním fontem.

Použití jazyka R je přímočaré. Nejprve se jednoduše popíše model, tedy soustava diferenciálních rovnic:

SIRD <- function(time, variables, parameters) {
  with(as.list(c(variables, parameters)), {
    dS <- -beta*I*S
    dI <-  beta*I*S - gamma*I
    dR <-  gamma*(1-IFR)*I
    dD <-  gamma*IFR*I
    return(list(c(dS, dI, dR, dD)))
  })
}

Výchozí nastavení včetně parametrů - včetně předem zvolené IFR 5 % - je další krok:

parameters_values <- c(
  beta  <- 0.004,  # rychlost šíření nákazy
  gamma <- 0.5,    # ústup infekce (posinfekční imunita + mrtví)
  IFR   <- 0.05    # infection fatality rate
)

initial_values <- c(
  S = 999,  # velikost vnímavé populace na počátku
  I = 1,    # počet nakažených na počátku
  R = 0,    # počet zotavených imunních na počátku
  D = 0     # počet mrtvých na infekci na počátku
)

time_values <- seq(from=0, to=20, by=0.2 )

Předání parametrů k numerickému řešení soustavy rovnic je opět snadné. Výsledek je užitečné přetypovat na dataFrame:

sird_values <- ode(
  y = initial_values,
  times = time_values,
  func = SIRD,
  parms = parameters_values
)

sird_values <- as.data.frame(sird_values)

Průběh simulované epidemie lze snadno zobrazit graficky:

with(sird_values, {
  plot(time, S, type = "l", col = "blue", lwd=2, xlab = "čas", ylab = "populace")
  lines(time,I, col = "red",lwd=2)
  lines(time,R, col = "green",lwd=2)
  lines(time,D, col = "black",lwd=2)
  grid(col="gray", lty="dotted", lwd=par("lwd"), equilogs=TRUE)
  legend("right", c("vnímaví","nakažení","zotavení","mrtví"), col=c("blue","red","green","black"), lty=1, bty="n",lwd=2)
})

s výsledkem:

Poslední krok je výpočet zdánlivého IFR počítaného ze všech aktivních případů. Protože R provádí operace s vektory po prvcích, je zápis opět pohodlný:

IFR=100*(sird_values$D/(sird_values$I+sird_values$R+sird_values$D))

Výsledek je možné zobrazit graficky:

plot(sird_values$time, IFR, type="l", col="blue", lwd=2, xlab="čas", ylab="zdánlivá smrtnost [%]")
grid(col="gray", lty="dotted", lwd=par("lwd"), equilogs=TRUE)

s výsledkem:

Je zřejmé, že zdánlivá smrtnost počítaná ze všech případů má sice sílu zdánlivě silných dat, ale jen velmi pomalu roste ke skutečné - tedy na počátku modelování nastavené - hodnotě IFR.

Ve skutečnosti je situace ještě horší. Spojitý charakter kompartmentového modelu už od počátku epidemie generuje setiny lidí v kompartmentu D a tak umožňuje odhadnout nenulovou hodnotu IFR. U řady infekcí začínají nakažení umírat až po kratším či delším stonání. To znamená, že iniciální odhad hrubou silou povede nutně po nějakou dobu k nulové úmrtnosti.  Teprve s odstupem času se začne podíl mrtvých zvyšovat a přibližovat se skutečné IFR.

Logickým řešením se zdá vzít v potaz jen uzavřené případy. V modelu SIRD by se takový odhad počítal takto:

IFR2=100*(sird_values$D/(sird_values$R+sird_values$D))

S výjimkou prvního časového vzorku (dělení nulou) vychází přesně 5 %. Slabinou této metody odhadu je to, že z počátku epidemie je k dispozici jen velmi málo zotavených, takže velkou roli hrají náhodné fluktuace.

Odhadnout smrtnost na začátku epidemie je tedy obtížné. Pokud je většina případů neuzavřených, nepomůže ani jednoduché omezení na uzavřené případy. Pokud někdo započítá i neuzavřené případy tak, že za IFR resp. za CFR vydává aktuální podíl zemřelých, jednoduše šíří misinformaci. Pokud má takový člověk z hlediska svého formálního vzdělání povinnost vědět, lze uvažovat i o úmyslné desinformaci.